Тема . Многочлены

Неприводимость и разложение на неприводимые многочлены

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела многочлены
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#87099

(Лемма Гензеля). Пусть P(x)  многочлен с целыми коэффициентами. Тогда для любого простого q,  натурального s  и целых r,n  верно следующее сравнение:

       s         s ′         2s
P(n+ rq)≡ P(n)+ rq P (n)  (mod q )
Показать доказательство

Пусть у нас есть многочлен P (x)= a xk+ a  xk−1+ ...+ ax+ a .
       k    k−1          1    0  Давайте теперь просто запишем наше сравнение:

       sk           sk−1            s
ak(n +rq) + ak−1(n+ rq)   + ...+ a1(n+ rq)+ a0 ≡

    k       k−1                s    k−1           k−2                   2s
≡akn + ak−1n   +...+ a1n+ a0+rq (akkn   + ak−1(k− 1)n   + ...+ a1n +a0) (mod q )

Раскроем скобки справа и первые два слагаемых в биноме Ньютона слева:

a nk+ka nk−1rqs+ ...+ a  nk−1+ a  (k− 1)nk−2rqs+...+a n+ a rqs+ a ≡
 k     k             k− 1      k−1                 1    1     0

≡ aknk +ak−1nk−1+...+a1n+ a0+ rqsakknk−1+ rqsak−1(k− 1)nk−2+...+rqsa1n +rqsa0 (mod q2s)

Видно, что правая часть полностью сокращается после этого вместе с двумя первыми слагаемыми в биноме, и теперь слева остаются слагаемые, которые как раз содержат qs  минимум во второй степени.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!