Неприводимость и разложение на неприводимые многочлены

Докажем сначала следующую лемму.

Лемма. Пусть неприводимый многочлен с рациональными коэффициентами, тогда и его производная взаимно просты.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что существует непостоянный многочлен с рациональными коэффициентами, который делит как так и Поскольку неприводим, то следовательно, должен делить что, очевидно, неправда.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Значит, существуют многочлены и с целыми коэффициентами такие, что для некоторого целого Это означает, что каждое простое большее (из теоремы Шура можно понять, что их бесконечно много), делящее при каком-то целом не является делителем числа Поэтому из леммы Гензеля следует, что для таких верно следующее:

Значит, по крайней мере одно из чисел и делится на но не делится на что и требовалось.