Неприводимость и разложение на неприводимые многочлены

Докажем для начала следующую лемму.

Лемма. Пусть — неприводимый многочлен с целыми коэффициентами, не равный тождественно константе. Тогда существует бесконечно много простых чисел таких, что для каждого из них выполняется равенство при некотором целом

Доказательство. Здесь нам понадобится такое наблюдение. Если неприводимый многочлен с рациональными коэффициентами, тогда и его производная взаимно просты. Предположим противное, т.е. что существует непостоянный многочлен с рациональными коэффициентами, который делит как так и Поскольку неприводим, то следовательно, должен делить что, очевидно, неправда.

Значит, существуют многочлены и с целыми коэффициентами такие, что для некоторого целого Это означает, что каждое простое большее (из теоремы Шура можно понять, что их бесконечно много), делящее при каком-то целом не является делителем числа Поэтому из леммы Гензеля следует, что для таких верно следующее:

Значит, по крайней мере одно из чисел и делится на но не делится на что и требовалось.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть где а — различные неприводимые многочлены с целыми коэффициентами. Для каждой пары различных индексов существует целая ненулевая константа такая, что

при некоторых многочленах с целыми коэффициентами. По нашей лемме существуют простые такие, что при некоторых натуральных Согласно выбору простых (напомню, что, в частности, для всех ) выполняется равенство иначе левая часть равенства

делится на в отличие от правой части.

По китайской теореме об остатках существует такое натуральное что

Из леммы Гензеля следует, что также очевидно, что при всех отличных от индексов простое число не делит так же, как оно не делит Следовательно для каждого индекса верно равенство

С другой стороны, следовательно для каждого Значит, у чисел есть общий делитель то есть для некоторого многочлена Так как является точной -той степенью, то -той степенью является также и число поэтому многочлен удовлетворяет условиям задачи, что и требовалось найти.