Неприводимость и разложение на неприводимые многочлены

Подставим вместо и будем доказывать неприводимость по (понятно, что неприводимость по и по равносильны). Имеем Раскроем все скобочки и посчитаем коэффициент при скобочка даёт вклад в коэффициент, скобочка — и так дальше до скобочки которая даёт вклад Таким образом, коэффициент перед равен:

В справедливости последнего равенства можно убедиться, если заменить слагаемое на и постепенно применять тождество к правой части.

Теперь нетрудно заметить, что старший коэффициент равен , то есть не делится на все остальные коэффициенты делятся на так как входит в числитель и не входит в знаменатель при Младший член равен то есть он делится на но не делится на а значит по критерию Эйзенштейна многочлен неприводим, что и требовалось.