Линейное движение

Первое решение. Пусть движется линейно по прямой тогда точка является точкой пересечения прямой которая имеет постоянное направление и проходит через и прямой которая не движется, движется линейно. Аналогично, движется линейно.

Пусть — точка на отрезке такая, что Заметим, что так же движется линейно. Осталось доказать, что в двух положениях лежит на

Рассмотрим положение Тогда тогда прямые и совпадают, откуда очевидно требуемое.

Рассмотрим положение Тогда и следовательно точка на медиане такая, что то есть является центром тяжести исходного треугольника, а значит лежит на медиане что завершает доказательство.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Пусть — пересечение и По теореме Менелая для и точек лежащих на прямых, содержащих его стороны и принадлежащих одной прямой

следовательно Обозначим и точки пересечения прямых из параллельных и с Понятно, что и являются средними линиями треугольников и соответственно, а значит, По теореме Фалеса для троек параллельных прямых и

Итак,

из чего следует требуемое.