Линейное движение
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На стороне 
параллелограмма 
(
) отмечена точка 
так, что треугольник 
— остроугольный. Пусть 
и
— центры описанных окружностей треугольников 
и 
соответственно. Докажите, что точка пересечения высот
треугольника 
лежит на прямой 
Источники:
Подсказка 1
Иногда, чтобы проверить, что точка лежит на некоторой фиксированной прямой, достаточно показать, что она движется линейно, при линейном движении некоторого другого объекта. Что можно рассмотреть в качестве данного объекта в нашей задаче?
Подсказка 2
Сначала может показаться, что хорошей идеей является движение точки T вдоль прямой BC. К сожалению, при этом центр описанной окружности треугольника ATD не будет двигаться линейно, а значит последующее решение не предоставляется возможным. Что можно двигать линейно, чтобы исправить данную проблему?
Подсказка 3
Давайте будем двигать линейно отрезок BC вдоль прямой, на которой он лежит. Докажите, что каждый из центров окружностей так же будет двигаться линейно. Почему при этом ортоцентр будет двигаться линейно?
Подсказка 4
Высоты из точек O₁ и O₃ параллельны соответственно сторонам TD и AT, следовательно, ортоцентр является точкой пересечения прямых постоянного направления, проходящий через точки, которые движутся линейно. Таким образом, достаточно найти два положения, при которых ортоцентр лежит на прямой AD. Найдите их.
Подсказка 5
Что может быть лучше высот? Много высот! Рассмотрите положение отрезка BC, при котором ABCD является прямоугольником.
Подсказка 6
В качестве одного из возможных вторых положений можно рассмотреть такое, при котором B совпадает с точкой T. Помните, что если на описанной окружности треугольника выбрана точка, то ее образы при отражении относительно сторон треугольника попадают на одну прямую, которая проходит через ортоцентр треугольника.
.png)
Зафиксируем точки 
Пусть точка 
движется линейно по прямой, проходящей через 
параллельно 
Тогда
точка 
так же движется линейно, поскольку 
Кроме этого, 
является точкой пересечения серединных
перпендикуляров к отрезкам 
(фиксирован при движении) и 
(имеет постоянное направление и проходит через
середину отрезка 
которая движется линейно), следовательно движется линейно. Аналогично точка 
движется
линейно.
Рассмотрим треугольник 
Заметим, что прямая 
фиксированная, поскольку является серединным перпендикуляром к
фиксированному отрезку 
следовательно высота, проведенная из точки 
имеет постоянное направление, кроме этого проходит через
линейнодвижущуюся точку. То же верно про высоту, проведенную из вершины 
Наконец, точка пересечения 
указанных прямых
движется линейно. Покажем, что в двух положениях 
лежит на 
Положение 1. Пусть точка 
такова, что 
является прямоугольником. Тогда 
является серединой стороны 
— 
Пусть 
— середина стороны 
Как известно, 
является ортоцентром треугольника 
а значит 
является ортоцентром
треугольника 
и принадлежит 
Положение 2. Пусть 
совпадает с 
В этом случае точка 
определяется как точка пересечения прямой, проходящей через 
и перпендикулярной 
и серединного перпендикуляра к 
точка 
симметрична 
относительной прямой
Заметим, что
что влечет принадлежность точек 
и 
одной окружности.
Наконец, точки 
и 
симметричны точке 
относительно одной из сторон треугольника 
, следовательно прямая 
является прямой Штейнера точки 
относительно треугольника 
и проходит через ее ортоцентр.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
