Линейное движение
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На описанной окружности треугольника 
отмечена точка 
Прямые 
и 
пересекают высоты 
в точках 
соответственно. Докажите, что середина отрезка 
лежит на прямой 
Подсказка 1
Каким способом можно показать, что середина некоторого отрезка лежит на данной прямой?
Подсказка 2
Мы можем показать, что концы отрезка движутся линейно, после найти два частных случая при каждом из которых середина лежит на данной прямой. Как можно доказать, что точка Q движется линейно при линейном движении точки P?
Подсказка 3
Легко показать, что треугольники PC₁B и QB₁C подобны, выведите из этого, что Q движется линейно.
Подсказка 4
Осталось найти два положения точки P. Утверждение в положении P=C₁ очевидно. Найдите второе положение.
Подсказка 5
В качестве второго можно взять положение, когда P лежит на описанной около ABC окружности. Точка Q при этом совпадает с ортоцентром треугольника. Докажите, что в этом случае C₁ является серединой отрезкой PQ, чем завершите решение.
.png)
Пусть точка 
движется линейно по прямой 
Покажем, что точка 
при этом движении линейно движется по
прямой 
Действительно, точки 
лежат на одной окружности, следовательно 
кроме
этого
что влечет подобие треугольников 
и 
откуда заключаем равенство
следовательно, расстояние от 
до 
линейно зависит от длины отрезка 
Таким образом, точки 
и 
движутся линейно, следовательно середина, соединяющего их отрезка так же движется
линейно.
Осталось показать существование двух положений, при которых она лежит на прямой 
Такими, например, являются
положения 
и 
Выполнение условия задачи очевидно в первом случае, а во втором эквивалентно
утверждению о том, что точка, симметричная ортоцентру относительно одной из сторон треугольника, лежит на его описанной
окружности.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
