Применение производной в многочленах

Пусть

следовательно,

тогда для любого мы имеем

Таким образом, достаточно показать, что для произвольного набора различных чисел верно тождество

Рассмотрим данное выражение как функцию от Домножив ее на

получим многочлен причем в каждое слагаемое входит в степени не больше и в каждой из точек

следовательно, является тождественным нулем, что доказывает данное тождество.