Применение производной в многочленах
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— многочлен с вещественными коэффициентами степени 
а 
— все его вещественные корни, причем они
различны. Докажите, что
Подсказка 1
Изначальное тождество выглядит страшно, поэтому хочется его как-то упростить. Предлагается понять, как выглядит отдельное слагаемое. Как это сделать?
Подсказка 2
Покажите, что g’(x) сумма чисел вида g(x)/(x-x_i) по всем корням. Тогда изначальное выражение становится немного приятнее, так как понятен вид каждого слагаемого. Как можно доказать новое тождество?
Подсказка 3
Удобно доказывать, что какой-то многочлен равен нулю, а не сумма обратных многочленов, поэтому разумно домножить на наименьшее общее кратное всех знаменателей. Тогда получится многочлен. Но от какой переменной? Как доказать что многочлен тождественный ноль?
Пусть
следовательно,
тогда для любого 
мы имеем
Таким образом, достаточно показать, что для произвольного набора различных чисел 
верно тождество
Рассмотрим данное выражение как функцию от 
Домножив ее на
получим многочлен 
причем в каждое слагаемое 
входит в степени не больше 
и в каждой из точек
следовательно, 
является тождественным нулем, что доказывает данное тождество.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
