Применение производной в многочленах
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Петя и Вася играют в игру. Начинает Петя. В начале игры на доске написан многочлен 
В свой ход игрок
может либо заменить многочлен на его производную, либо, если в многочлене больше одного одночлена, стереть с доски один из
одночленов.
Если при дифференцировании какого-то одночлена получается в 
он на доске не пишется. Игра заканчивается, когда на доске
остаётся число. Петя хочет, чтобы это число было как можно больше, а Вася чтобы как можно меньше.
Какое число останется на доске при правильной игре?
Источники:
Подсказка 1
Давайте попробуем оценить сверху коэффициент при оставшемся одночлене. Как он зависит от изначальной степени этого одночлена? Что выгоднее сделать Пете в первую очередь?
Подсказка 2
Пете невыгодно оставлять одночлены, степень которых изначально была достаточно малой. А какой похожий вывод можно сделать о Васе?
Подсказка 3
Васе было бы выгодно, чтобы степень оставшегося одночлена была как можно меньше. Осталось придумать действия для их целей и оценить коэффициент оставшегося одночлена с двух сторон ;)
Будем говорить, что одночлен 
при дифференцировании превращается в одночлен 
(или исчезает, если получившийся одночлен
равен 
Результат игры зависит от того, многократным дифференцированием какого одночлена получена итоговая константа. При этом
на каждом ходу исчезает не более одного одночлена, поэтому игра продлится минимум 
ход (изначально одночленов
Петина стратегия — всё время дифференцировать многочлен. Петя начинает первый, он сделает минимум 
ход и уничтожит все
одночлены, изначальная степень которых была от 
до 
включительно. Таким образом, вне зависимости от действий соперника, Петя
гарантирует, что оставшийся одночлен будет иметь изначальную степень не меньше 
а значит, его итоговое значение после
превращения в константу будет не меньше (
Васина стратегия — всё время стирать старший член многочлена. Вася сделает не менее 
ходов и уничтожит все одночлены,
изначальная степень которых была больше 
Таким образом, вне зависимости от действий соперника, Вася гарантирует, что
оставшийся одночлен будет иметь изначальную степень не больше 
а значит, его итоговое значение после превращения в константу
будет не больше 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
