Применение производной в многочленах

Пусть причем при имеем Так как у нет кратных корней, то у производной их тоже нет (она имеет корень на каждом из интервалов между каждыми двумя последовательными корнями). Аналогично не имеет кратных корней при Тогда если коэффициенты при и равны 0 при некотором имеем для ненулевого Тогда — кратный корень некоторой производной, что влечет противоречие. Значит, коэффициенты при двух последовательных степенях не могут быть нулями. Предположим, что Тогда нулевых коэффициентов не более При не более нулевых коэффициентов. Рассмотрим многочлен четной степени. Видно, что при раскрытии скобок остаются только четные коэффициенты, а потому все коэффициенты при нечетных степенях нулевые, поэтому всего их . Если же нечетно, то положим поэтому всего их