Применение производной в многочленах

Докажем, что подходит. Возьмем произвольные из данных точек; существует многочлен степени, не большей график которого проходит через них. Этот многочлен, очевидно, разделяет наши точки.

Осталось построить пример допустимого набора, который нельзя разделить многочленом степени, меньшей Возьмем график некоторого приведенного многочлена степени и расположим на нем точек, чередуя цвета. Предположим, что некоторый многочлен степень которого не больше разделяет эти точки; можно считать, что ниже графика нет красных точек, а выше — синих.

Обозначим степень многочлена равна Кроме того, если и — абсциссы произвольных красной и синей точек, то и то есть и

Заметим, что если при некоторых то существует такая точка для которой ( непостоянен). Это значит, что на любом интервале между красной и синей точками (красная левее синей) найдется точка, в которой значение положительно. Аналогично, на любом интервале между синей и красной точками найдется точка, в которой значение отрицательно. Итого, мы нашли точек, в которых принимает значения чередующихся знаков. Между любыми такими соседними точками имеет корень. Следовательно, у многочлна не менее корней. Но это невозможно, так как — многочлен степени Противоречие