Применение производной в многочленах

Заметим, что наш многочлен возрастает. Это можно доказать, например, посчитав его производную и убедившись, что она неотрицательна.

Однако, мы докажем это не используя производную. Нам достаточно сделать это для положительных

Рассмотрим выражение

Нам надо доказать, что выражение в скобках положительно, тогда мы докажем, что

Приравняв

получим квадратное уравнение относительно с дискриминантом

Значит, всегда одного знака, а именно положительного.

Так как многочлен возрастает, для всех между и выполняются неравенства

Значит, для этих верно Аналогично для между и

А вот на промежутке многочлен принимает в том числе значение в какой-то точке, при этом для всех из этого промежутка