Применение производной в многочленах

Рассмотрим производные изначальных многочленов: Обе производные имеют нули в

Теперь докажем следующую лемму:

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма. Имеется множество функций, каждая из которых имеет ноль производной в заданной точке. Тогда, любая новая функция, полученная способом, описанным в задаче, из функций множества, тоже будет иметь корень производной в этой точке.

Доказательство леммы. Пусть новая функция была получена из функций и по одному из способов, упомянутых в условии. По условию леммы имеется такое фиксированное что

 1) Значит, — ноль функции

 2) Значит, — ноль функции

 3) Значит, — ноль функции

 4) Значит, — ноль функции 

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма доказана. Вернемся к исходной задаче. По лемме мы получаем, что каждая новая функция на доске будет иметь ноль производной в точке Но рассмотрим функцию, которую мы хотим получить: Заметим, что у ее производной не имеется нуля в точке Значит, по лемме мы не можем получить такую функцию.