Применение производной в многочленах

Подсказка 1

Из нашего равенства легко получить, что P(x) - x делится на Q²(x). Хотелось бы вытащить еще где-то делимость на Q²(x), что же нужно сделать?

Подсказка 2

Правильно, взять производную! Какой многочлен еще делится на Q²(x) после взятия производной?

Подсказка 3

Верно! 2P(x)P'(x) - 1 делится на Q²(x). Теперь у нас есть два многочлена, которые делятся на Q²(x). Давайте попробуем рассмотреть какую-нибудь их линейную комбинацию, которая тоже будет делится на Q²(x), но при этом раскладывалась на множители, один из которых точно взаимно просто с Q(x).

Подсказка 4

Рассмотрим выражение R(x) = x(2P(x)P'(x) - 1) - (P(x) - x) = P(x)(2P'(x)x - P(x)). А следовательно и 2P'(x)x - P(x)) делится на Q²(x). Осталось только написать неравенства на степени многочленов и получить противоречие.