Применение производной в многочленах

Заметим, что

откуда при всех Значит, один из множителей является тождественным нулем. В случае, если то подставив получим Теперь, подставив в исходное условие, получаем что невозможно. Значит,

Взяв производную от обеих частей, получаем Подставив получаем Продифференциировав исходное равенство, получим

Построим последовательность по правилу (то есть больший корень уравнения ). Заметим, что Тогда из того, что функция строго возрастающая, заключаем и так далее. То есть наша последовательность строго возрастающая (в частности — вещественный), а значит, все ее члены различны и для всех натуральных Теперь докажем, что для любого идукцией по База для была доказана ранее. Подставив в продифференциированное равенство, получим

откуда или В первом случае, подставив в исходное равенство, получим

то есть приходим к противоречию. Значит, — переход доказан. То есть все члены построенной последовательности являются корнями многочлена откуда То есть для некоторого вещественного Снова подставив в исходное равенство, получаем откуда