Поляры
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две окружности 
и 
касаются внешним образом в точке 
На окружности 
выбрана произвольная точка 
Точки 
и 
на 
таковы, что 
и 
— касательные к 
Прямые 
и 
пересекают 
в точках 
и 
Пусть
— точка пересечения касательной из 
к 
с прямой 
Докажите, что все такие точки 
лежат на одной
прямой.
Подсказка 1
Пусть общая касательная к w_1 и w_2 пересекает прямую BC в точке Q. Попробуйте найти отмеченные точки, которые лежат на поляре точки Q относительно окружности w_1.
Подсказка 2
Прямая AM является полярой точки Q относительно w_1. Пусть A' — вторая точка пересечения прямой AM и окружности w_1. Что можно сказать про прямую A'Q?
Подсказка 3
Правильно! Прямая A'Q касается окружности w_1. Попробуйте теперь сделать гомотетию с центром в точке M, которая переводит окружность w_1 в окружность w_2. Куда при этой гомотетии перейдет точка Q?
Подсказка 4
Верно! Точка Q перейдет в точку D. Осталось только понять, на какой фиксированной прямой лежит точка D.
Очевидно, что 
— поляра 
относительно 
Пересечем 
с общей касательной 
и 
в точке 
— касательная к 
и 
лежит на поляре 
значит 
— поляра 
относительно 
Пусть 
вторично пересекает 
в 
Тогда 
тоже
будет касательной к 
Рассмотрим гомотетию 
в точке 
переводящую 
в 
Очевидно, что она переведет точки 
в точки 
соответственно. Точка пересечения 
и 
перейдет при этой же гомотетии в точку пересечения касательной к 
в
точке 
с прямой 
С другой стороны 
лежала на общей касательной к окружностям. Значит, и ее образ будет
лежать на общей касательной. А образ 
— точка 
Значит, все точки 
будут лежать на общей касательной 
и
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
