Поляры

Пусть — окружность, касающейся отрезков и описанной окружности треугольника — описанная окружность четырёхугольника — центр его вписанной окружности, — точка пересечения диагоналей и Мы докажем, что — поляра точки относительно обеих окружностей и Тогда и обе перпендикулярны откуда и следует утверждение задачи.

Тот факт, что — поляра точки относительно есть по сути утверждение теоремы Брокара, факта, который мы считаем достаточно известным.

Покажем, что лежит на поляре относительно Рассмотрим поляру относительно она проходит через точки касания с и Как известно, эта прямая содержит и перпендикулярна Но биссектрисы и углов и также перпендикулярны, ибо вписан, то есть лежит на поляре точки Отсюда и следует требуемое.

Пусть — точка пересечения прямых и Тогда точки и точки касания с прямыми и образуют гармоническую четверку, так как можно спроецировать из точки на прямую Следовательно, — поляра точки относительно

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Доказать, что лежит на поляре точки относительно можно и по-другому. Например, помогает окружность, построенная на как на диаметре. Стоит заметить, что — радикальная ось этой окружности с Пусть и — точки касания вписанной окружности четырёхугольника со сторонами и соответственно. Сразу отметим, что тогда известно, что точки и лежат на одной прямой. Пусть эта прямая пересекает прямую в точке Спроецируем отношение на прямую получим Наконец, пусть — точка пересечения с Тогда известно, что то есть точки лежат на одной окружности, причём дуги и равны. Но тогда — гармоническая четвёрка, поскольку — биссектриса угла а — перпендикулярная ей внешняя биссектриса.