Тема 8. Взаимосвязь функции и ее производной

8.05 Производная и возрастание/убывание функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела взаимосвязь функции и ее производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#17133

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−1;17).$ Найдите промежутки возрастания функции $f(x).$ В ответе укажите длину наибольшего из них.

$xyy1−1071= f′(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

Если производная $y = f′(x)$ положительна на промежутке $(a;b),$ то функция $y = f(x)$ на этом промежутке возрастает. Следовательно, нам необходимо определить по графику те промежутки, которые соответствуют частям графика $′ y = f(x),$ находящимся выше оси $Ox.$

Это промежутки $(0;3),$ $(6;10)$ и $(16;17).$ Таким образом, функция возрастает на промежутках $[0;3],$ $[6;10]$ и $[16;17).$ Наибольшую длину, равную 4, имеет промежуток $[6;10].$

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#15802

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ и на оси абсцисс отмечены восемь точек: $x1,$ $x2,$ $x3,$ $x4,$ $x5,$ $x6,$ $x7,$ $x8.$ В скольких из этих точек производная функции $y = f(x)$ положительна?

$xyxxxxxxxxy12345678= f(x)$

Показать ответ и решение

Производная функции положительна на тех промежутках, где функция возрастает. Тогда в точках $x1,x3,x5,x7$ производная функции $y = f(x)$ больше 0. Этих точек 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#17300

На рисунке изображен график функции $y = f(x),$ определенной на интервале $(−0,5;4,3).$ Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

$PIC$

Показать ответ и решение

Для функции $f(x),$ у которой производная в точке $x0$ существует, $′ f(x0)> 0$ равносильно тому, что $f(x)$ возрастает в $x0.$

На интервале $(− 0,5;4,3)$ целыми являются точки 0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек $f(x)$ возрастает только в точках 1, 2, 4.

Таким образом, производная функции $y = f(x)$ положительна в трех целых точках.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#20861

На рисунке изображён график функции $y = f(x).$ На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x1,$ $x2,$ $x3,$ $x4,$ $x5,$ $x6,$ $x7,$ $x8.$ Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f(x)$ положительна.

$0xyxxxxxxxxy12345678 = f(x)$

Показать ответ и решение

Производная функции в точке положительна, если функция в этой точке возрастает. Значит, $′ f(x)> 0$ в точках $x1,$ $x2,$ $x5$ и $x6.$ Этих точек 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#264

На рисунке изображен график функции $y = f(x),$ определенной на интервале $(−0,5;4,3).$ Определите количество целых точек (то есть точек с целыми абсциссами), в которых производная функции отрицательна.

$PIC$

Показать ответ и решение

Для функции $f(x),$ у которой производная в точке $x0$ имеет смысл, условие $f′(x0)< 0$ равносильно тому, что $f(x)$ убывает в точке $x0.$

На интервале $(−0,5;4,3)$ целыми являются точки 0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек $f (x)$ убывает только в точках 0, 2, 3. Таким образом, производная функции $y = f(x)$ отрицательна в трех целых точках.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#265

На рисунке изображен график функции $y = f(x),$ определенной на интервале $(−0,5;4,1).$ Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

$−1234−12340xyy =11f(x)$

Показать ответ и решение

На интервале $(−0,5;4,1)$ целыми являются точки 0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек $f(x)$ убывает только в точках 2 и 4. Таким образом, производная функции $y = f(x)$ отрицательна в 2 целых точках.

Ответ: 2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#266

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $y = f(x),$ определенной на интервале $(−0,6;4,8).$ Найдите промежутки возрастания функции $y = f(x).$ В ответе укажите произведение целых точек, входящих в эти промежутки.

$0xyy−12345−1234511= f′(x)$

Показать ответ и решение

Для функции $f(x),$ у которой производная в точке $x0$ имеет смысл, утверждение о том, что $f(x)$ возрастает в точке $x0,$ равносильно тому, что $f′(x0)> 0.$

На интервале $(− 0,6;4,8)$ целыми являются точки

0, 1, 2, 3, 4

Среди этих точек $f′(x)$ положительна только в точках 1 и 3.

Таким образом, произведение целых точек, в которых функция возрастает, равно $1⋅3 = 3.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#267

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $y = f(x),$ определенной на интервале $(−1,5;4,5).$ Найдите промежутки возрастания функции $y =f(x).$ В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

$PIC$

Показать ответ и решение

На интервале $(−1,5;4,5)$ целыми являются точки -1, 0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек $f′(x)$ положительна только в точках -1, 0 и 1. Таким образом, сумма целых точек, в которых функция возрастает, равна

−1 + 0+ 1= 0

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#268

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $y = f(x),$ определенной на интервале $(−1,5;4,6).$ Найдите промежутки убывания функции $y = f(x).$ В ответе укажите длину наибольшего из них.

$PIC$

Показать ответ и решение

Для функции $f(x),$ у которой производная в точке $x0$ имеет смысл, утверждение о том, что $f(x)$ убывает в точке $x0,$ равносильно тому, что $f′(x0)< 0.$

По рисунку видно, что $f′(x)$ отрицательна в промежутках $− 1< x < 2$ и $3< x <4.$ Тогда $y = f(x)$ убывает в промежутках $− 1 < x< 2$ и $3 <x < 4.$

Из этих промежутков наибольшую длину, равную 3, имеет интервал $(−1;2).$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#269

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $y = f(x),$ определенной на интервале $(−1,5;4,6).$ Найдите промежутки возрастания функции $y = f(x).$ В ответе укажите длину наибольшего из них.

$xy110$

Показать ответ и решение

Для функции $f(x),$ у которой производная в точке $x0$ имеет смысл, утверждение о том, что $f(x)$ возрастает в $x0,$ равносильно тому, что $f′(x0) >0.$

По рисунку видно, что $f′(x)$ положительна на промежутке $− 1< x< 3$ и в некоторых точках промежутка $3 < x< 4,6.$ Тогда $y = f(x)$ возрастает на на промежутке $− 1 < x< 3$ и в некоторых точках промежутка $3 < x< 4,6.$

У промежутка $− 1 < x< 3$ длина больше, чем даже у промежутка $3 <x < 4,6,$ тем более она больше, чем длина части промежутка $3< x< 4,6.$ Таким образом, длина наибольшего из промежутков возрастания равна 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#273

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $y = f(x),$ определенной на интервале $(−2,5;8,4).$ В какой точке отрезка $[− 1;6]$ функция $y = f(x)$ принимает наибольшее значение?

$PIC$

Показать ответ и решение

По рисунку можно определить, что производная $y = f′(x)$ на отрезке $[−1;6]$ принимает неотрицательные значения. Тогда функция $y = f(x)$ на отрезке $[−1;6]$ возрастает и принимает наибольшее значение в точке $x= 6.$

Ответ: 6

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1584

$PIC$

Показать ответ и решение

Для функции $f(x),$ у которой производная в точке $x0$ существует, условие $f ′(x0)> 0$ равносильно тому, что $f(x)$ возрастает в точке $x0.$

На интервале $(−0,5;4,3)$ целыми являются точки 0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек $f(x)$ возрастает только в точках 1, 2 и 4. Таким образом, производная функции $y = f(x)$ положительна в 3 целых точках.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1585

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $y = f(x),$ определенной на интервале $(−1,5;4,5).$ Найдите промежутки убывания функции $y = f(x).$ В ответе укажите количество целых точек, входящих в эти промежутки.

$PIC$

Показать ответ и решение

Для функции $f(x),$ у которой существует производная в точке $x0,$ утверждение о том, что $f(x)$ убывает в точке $x0,$ равносильно тому, что $f′(x0)< 0.$

На интервале $(−1,5;4,5)$ целыми являются точки $− 1,$ 0, 1, 2, 3, 4. Среди этих точек $′ f (x)$ отрицательна только в точках $− 1,$ 0, 1 и 2.

Таким образом, количество целых точек, в которых функция убывает, равно 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1587

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $y =f (x),$ определенной на интервале $(− 1;8).$ В какой точке отрезка $[2;5]$ функция $y = f(x)$ принимает наибольшее значение?

$PIC$

Показать ответ и решение

По рисунку можно определить, что функция $y = f′(x)$ на отрезке $[2;5]$ принимает неположительные значения, при этом $f′(2) =0.$

Так как на полуинтервале $(2;5]$ производная функции $f(x)$ отрицательна, то сама функция $f(x)$ на $(2;5]$ убывает.

Тогда функция $y = f(x)$ на отрезке $[2;5]$ принимает наибольшее значение при $x = 2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1967

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $y =f(x),$ определенной на интервале $(− 2,1;7,5).$ В какой точке отрезка $[2;6]$ функция $y = f(x)$ принимает наибольшее значение?

$PIC$

Показать ответ и решение

По рисунку можно определить, что функция $y = f′(x)$ на отрезке $[2;6]$ принимает неотрицательные значения, при этом $f′(4) =f′(6)= 0.$

Так как на полуинтервале $[2;4)$ производная функции $f(x)$ положительна, то сама функция $f(x)$ на $[2;4)$ возрастает, затем при $x= 4$ производная обращается в 0, но дальше снова положительна в интервале $(4;6).$

Тогда функция $y =f(x)$ возрастает на интервале $(2;6)$ и принимает наибольшее на отрезке $[2;6]$ значение при $x = 6.$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#58777

На рисунке изображен график производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−8;4).$ В какой точке отрезка $[−7;−3]$ функция $f(x)$ принимает наименьшее значение?

$′ xyy4−110 =8 f (x)$

Показать ответ и решение

На указанном отрезке производная положительна, то есть функция возрастает. Тогда наименьшее значение функция $f(x)$ принимает в левом конце отрезка в точке $x = −7.$

Ответ: -7

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#58778

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−8;3).$ В какой точке отрезка $[−3;2]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

$′ xyy3−110 =8 f (x)$

Показать ответ и решение

На отрезке $[− 3;2]$ производная неположительна, следовательно, функция убывает. Тогда наибольшее значение функция принимает в левом конце отрезка, то есть в точке $x= −3.$

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#71060

На рисунке изображен график производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−6;6).$ В какой точке отрезка $[3;5]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

$xy110−6y 6=f′(x)$

Показать ответ и решение

Если производная функции в некой точке положительна, то функция в этой точке возрастает.

$PIC$

Перед нами график производной функции. На данном отрезке все значения производной положительны. Это фактически означает, что на всем отрезке $[3;5]$ функция возрастает. Значит, своего максимального значения на нём она достигает на его правой границе — в точке $x = 5.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#83751

На рисунке изображён график функции $y = f′(x)$ — производной функции $f(x).$ На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: $x1,x2,x3,x4,x5$ , $x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12.$ Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f(x)?$

$′ xyy0xxxxxxxxxxxx=123456789101112f (x)$

Показать ответ и решение

Производная функции положительна там, где функция возрастает. Следовательно, функция возрастает в точках, которые лежат выше оси $Ox :$ $x2,x3,x6,x7,x8,x9.$ Таких точек шесть.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#20716

На рисунке изображён график функции $y = f(x),$ определённой на интервале $(−9;2).$ Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

$xy110−2 9$

Показать ответ и решение

Производная отрицательная, когда функция убывает. По графику видно, что функция убывает при следующих целых значениях $x:$

−8, − 3, −2, − 1

Получаем 4 точки.

Ответ: 4

Предыдущий раздел

Следующий раздел