Игры вслепую

Назовём группой чисел размера группу чисел Пусть Петя сначала последовательно называет все числа из группы размера потом все числа из группы размера затем из группы размера и так дальше.

Покажем, что рано или поздно Петя проиграет. Любое число представимо в виде где — свободное от квадрата число или

Давайте поймём, как числа влияют на Если не делится на то после этих четырёх чисел не изменится. Если делится на но не делится на то оно тоже останется без изменений.

Пусть теперь делится на Покажем, что тогда делится на Предположим противное. Понятно, что не может делиться на значит делится на и делится на но не делится на Таким образом, — свободное от квадрата. Следовательно, хотя бы один простой делитель, входящий в разложение входит в разложение в первой степени, иначе поделится на Пришли к противоречию с тем, что — квадрат. То есть в этом случае числа превратят в где

Таким образом, понятно, что в процессе величина равно как и само число не возрастает. Также не может бесконечно не убывать, рано или поздно будут названы числа где — делитель больший Далее рано или поздно аналогичная ситуация произойдёт с и так дальше. Когда-нибудь наступит момент, когда превратится в после этого рано или поздно будут названы числа После единицы Петя проиграет.

Также заметим, что если то Петя также проиграет, поскольку после чисел всегда называется единица.