Теория чисел на КФУ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Натуральное число 
назовём удачным, если его можно единственным образом разбить в сумму 10 различных натуральных чисел (порядок
слагаемых не важен). Найдите все удачные числа.
Источники:
Подсказка 1
Если у нас число представляется единственным образом, то это значит, например, что мы не можем как-то уменьшить одно число на 1, увеличить другое на 1 и получить новое разбиение. Положим, что у нас есть числа a₁ < a₂ < … < a₁₀, что тогда можно сказать, в соответствии с нашими рассуждениями выше, об a₁? Перекладывается ли это на a₂?
Подсказка 2
Мы можем сказать, что a₁ = 1, так как если a₁ > 1, то выходит, что мы можем уменьшить на 1 a₁, увеличить на 1 a₁₀, и это будет новым разбиением. Но ведь аналогично можно рассуждать и относительно a₂, a₃, … Когда этот процесс должен закончиться?
Подсказка 3
Мы можем проводить такие рассуждения вплоть до a₉, но вот с a₁₀ так же не получится. Подумайте, может ли a₁₀ быть равен, скажем, 100? А 20? А какие тогда он может принимать значения и почему (рассуждайте похожим образом, как с остальными a_i)?
Пусть число 
— удачное, 
, где 
— натуральные слагаемые. Если предположить, что 
, то
можно разбить в сумму различных натуральных слагаемых еще одним способом:
Таким образом, 
.
Далее, если предположить, что 
, то для 
опять можно привести другое разбиение:
Значит, 
. Продолжая так далее, получаем 
, 
. Если 
, то 
, и снова можно
сконструировать другое разбиение.
Наконец, нетрудно видеть, что при 
или 
получающиеся числа 55 и 56 являются удачными.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
