Инверсия + симметрия

Первое решение. Пусть — медиана треугольника. Так как биссектриса и серединный перпендикуляр к проходят через одну и ту же точку (середину дуги ), то Пусть пересекается с окружностью в точке Из сказанного выше следует, что — диаметр окружности

Надо доказать, что и симметричны относительно биссектрисы, то есть

При этом как опирающиеся на одну дугу вписанные углы.

По условию прямой, а ещё опирающийся на диаметр вписанный угол тоже прямой. Поэтому точки коллинеарны. Тогда Остаётся доказать равенство

Это равенство следует из того, четырёхугольник можно вписать в окружность. Действительно, при этом

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Сделаем симметрию относительно биссектрисы угла и инверсию с таким радиусом, чтобы и где звездочкой обозначаем образ точки под действием композиции преобразований. Заметим что и так как прямая переходит в дугу и наоборот, а прямая переходит сама в себя. Окружность, построенная на тем самым переходит в окружность, центр которой все лежит на а точки ее пересечения с это и То есть, эта окружность переходит в себя. Точка переходит в точку вторую точку пересечения окружности и прямой Известно, что  – середина дуги а так как  – диаметр окружности. Получаем, что высота в равнобедренном треугольника значит  – середина Получается, что содержит медиану треугольника причем симметрична относительно биссектрисы угла