Инверсия + симметрия

Сделаем симметрию относительно биссектрисы угла и инверсию с таким радиусом, чтобы и где звездочкой обозначаем образ точки под действием композиции преобразований. переходит в прямую отрезок переходит в дугу описанной окружности Вторая окружность перейдет в окружность, касающуюся дуги и отрезка причем в силу центр окружности все еще лежит на биссектрисе угла Существует единственная окружность с такими свойствами и центром на биссектрисе (это отдельное несложное упражнение), поэтому вторая окружность переходит сама в себя. Точка же переходит в точку касания отрезка и окружности, то есть в точку а точка  – в точку При этом и по определению симметричны относительно биссектрисы, значит и тоже.

Упражнение можно показать так: по мере продвижения точки от точки пересечения биссектрисы и к точке пересечения биссектрисы и дуги расстояние от до прямой увеличивается, а от до описанной окружности уменьшается (это расстояние можно выразить как радиус минус длина отрезка от до центра ). А нас интересует такая точка что расстояния от нее до прямой и до дуги совпадают. Ясно, что такая точка уникальна.