Инверсия + симметрия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В окружность 
вписан остроугольный треугольник 
в котором 
Пусть 
и 
– середины меньшей и большей дуги
окружности 
соответственно. Пусть 
– основание перпендикуляра, опущенного из точки 
на отрезок 
Докажите, что
окружность, описанная около треугольника 
делит отрезок 
пополам.
Источники:
Подсказка 1
Как с помощью инверсии можно показать, что некоторая окружность проходит через вершину треугольника?
Подсказка 2
Часто в этом помогает рассмотрения композиции инверсии с центром в данной вершине и симметрии относительно биссектрисы внутреннего угла данной вершины, которая меняет вершины треугольника местами. Во что перейдут точки из условии при рассмотрении такого преобразования?
Подсказка 3
Точка M перейдет в M' на BC такую, что угол BQ'M' = 90°, где Q' — основания биссектрисы внешнего угла, точка S — середина BP — в точку S' — отражение вершины B относительно основания биссектрисы из нее. Таким образом, достаточно показать, что точки A, S', M' лежат на одной прямой. Как это сделать?
Подсказка 4
Достаточно показать, что AP' / AQ' = P'S' / Q'M'. Воспользуйтесь свойством оснований биссектрис P'A / AQ' = P'C / CQ' и подобием треугольников P'BC и Q'M'C.
Рассмотрим композицию инверсии с центром в вершине 
и инверсии с радиусом 
. При этой инверсии точки 
и 
меняются
местами, а окружность 
переходит в прямую 
Точка 
перейдет в точку 
пересечения прямой 
и
— основание биссектрисы внешнего угла 
. Точка 
в перейдет точку на 
такую, что 
, 
перейдет в точку 
пересечения прямой 
и 
— основание биссектрисы угла 
, то есть точка 
— середина
отрезка 
перейдет в отражение 
точки 
относительно 
. Таким образом, достаточно показать, что точки
лежат на одной прямой, поскольку тогда после обратного преобразования точки 
лежат на одной
окружности.
Осталось заметить, что в силу параллельности прямых 
И 
треугольнкии 
и 
подобны, следовательно,
что в силу свойств основания биссектрисы внешнего угла равно 
Таким образом,
то есть треугольники 
и 
подобны, значит точки 
лежат на одной прямой.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
