Инверсия + симметрия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В окружность 
вписан остроугольный треугольник 
в котором 
Пусть 
и 
– середины меньшей и большей дуги
окружности 
соответственно. Пусть 
– основание перпендикуляра, опущенного из точки 
на отрезок 
Докажите, что
окружность, описанная около треугольника 
делит отрезок 
пополам.
Источники:
Рассмотрим композицию инверсии с центром в вершине 
и инверсии с радиусом 
. При этой инверсии точки 
и 
меняются
местами, а окружность 
переходит в прямую 
Точка 
перейдет в точку 
пересечения прямой 
и
— основание биссектрисы внешнего угла 
. Точка 
в перейдет точку на 
такую, что 
, 
перейдет в точку 
пересечения прямой 
и 
— основание биссектрисы угла 
, то есть точка 
— середина
отрезка 
перейдет в отражение 
точки 
относительно 
. Таким образом, достаточно показать, что точки
лежат на одной прямой, поскольку тогда после обратного преобразования точки 
лежат на одной
окружности.
Осталось заметить, что в силу параллельности прямых 
И 
треугольнкии 
и 
подобны, следовательно,
что в силу свойств основания биссектрисы внешнего угла равно 
Таким образом,
то есть треугольники 
и 
подобны, значит точки 
лежат на одной прямой.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
