Тема Бельчонок

Многочлены на Бельчонке

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бельчонок

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86098

Многочлен $P(x)= x4 − x3− x2− 1$ имеет корни $a,b,c,d$ . Многочлен

6 5 4 3 2 Q(x)= x − x − 2x +x +x − x+ 3.

Найдите $Q (a)+ Q(b)+ Q(c)+Q(d).$

Источники: Бельчонок - 2024, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Искать значение функции с шестой степенью не очень хочется…а как связать Q(x) c P(x)(хотя бы в корнях)? Быть может, вместо суммы значений функции Q искать что-то другое?

Подсказка 2

Рассмотрите деление многочлена Q на P.

Подсказка 3

Чему равно значение многочлена Q в корнях многочлена P?

Подсказка 4

Заметим, что значение многочлена Q в корнях многочлена P равно значениям в этих же точках соответственно многочлена-остатка при делении Q на P.

Подсказка 5

Осталось лишь найти остаток при делении Q на P и понять, как удобно посчитать получившееся выражение в корнях. Корни найти проблематично, но воспользоваться их связью друг с другом точно стоит!

Показать ответ и решение

Пусть $Q (x)= H(x)P (x)+ R(x)$ . Нетрудно видеть, что при $x =a,b,c,d$ верно $Q(x)= R(x)$ , то есть достаточно найти число $R(a)+ R(b)+ R(c)+ R(d).$