Ортологичные треугольники: теоремы Карно и Штейнера
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки 
и 
– середины боковых сторон 
и 
трапеции 
Перпендикуляр, опущенный из точки 
на
диагональ 
и перпендикуляр, опущенный из точки 
на диагональ 
пересекаются в точке 
Докажите, что
Если покажем, что точка 
лежит на серединном перпендикуляре отрезка 
то получим требуемое. Обозначим через 
середину
через 
и 
— основания перпендикуляров, через 
— точку пересечения диагоналей трапеции, проведённых к 
и 
Заметим, что для этого достаточно посчитать теорему Карно для 
Сделаем это:
Отрезки 
и 
равны, а значит:
Распишем квадраты с помощью теоремы Пифагора для треугольников 
и 
и приведём подобные:
Если расписать квадраты 
и 
через формулу медианы (для треугольников 
и 
) и записать 
как 
а 
как 
то равенство сведётся к следующему:
По теореме косинусов для треугольников 
и 
имеем:
То есть достаточно показать, что:
Углы вертикальные, поэтому можно сократить на удвоенный косинус и привести равенство к следующему виду:
А это незамедлительно следует из подобия треугольников 
и 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
