3.15 Комбинированные тела: их объемы и площади поверхностей

Выберем какое-нибудь сечение конусов плоскостью , проходящей через их общую ось вращения.
 

 

На рисунке в плоскости : – ось вращения конусов, отрезок совпадает с высотой песочных часов и равен . Отрезки и являются радиусами окружности, лежащей в верхнем основании фигуры, а отрезки и являются радиусами окружности пересечения конусов, поэтому . Угол раствора конуса делится пополам осью вращения на равные углы и , поэтому . Рассмотрим и . Плоскости оснований конусов и плоскость, содержащая окружность пересечения конусов, параллельны друг другу рассматриваемая плоскость сечения будет пересекать эти плоскости по прямым, параллельным друг другу и подобны друг другу . Ось вращения перпендикулярна плоскостям оснований и плоскости пересечения конусов и – прямоугольные треугольники. Т.к. ; .

Объем усеченного конуса можно посчитать как разность объемов конуса и конуса :

Объем песочных часов складывается из двух объемов усеченного конуса, т.к. ситуация с нижним конусом полностью аналогична ситуации с верхним конусом в силу симметрии задачи, поэтому их объемы совпадают объем песочных часов равен . Окончательно, после умножения на получаем: