pqr-метод

Первое решение.

Поймём для начала что-то про Перепишем равенство из условия в виде К тому же верна следующая цепочка неравенств

Значит, получаем, что Перенесём теперь в левую сторону и запишем КБШ

Получаем, что нам надо доказать следующее неравенство Возведём в квадрат, сделаем замену где неотрицательный, и сделаем преобразования

Последнее неравенство верно, поэтому получаем, что и наше исходное неравенство доказано. ______________________________________________

Второе решение.

Равенство переписывается в виде а неравенство в виде Зафиксируем и достигает минимального значения, если

i) в тройке одно из чисел равно нулю. Без ограничений общности, считаем, что Тогда а неравенство имеет вид последнее следует из неравенства между средним квадратичным и арифметическим для чисел и

ii) в тройке нашлась пара равных. Без ограничений общности, будем считать, что В этом случае следовательно а неравенство имеет вид

Выразим из выражения

Последнее является суммой неравенств и неравенства о средних