Тема . Классические неравенства

pqr-метод

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела классические неравенства
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80229

Известно, что a,b,c≥ 0  и a2+b2+ c2 +abc= 4.  Докажите что

2≥ ab+ bc+ac− abc
Показать доказательство

Положим

                  2   2  2   2
x= a+ b+ c=p,  y = a +b + c =p − 2q, z = abc

a,b,c  вещественны, если S(x,y,z)= T(x,x2−y,z) ≥0.
              2  Ясно также, что если S(x,y,z)=0,  то две переменных из a,b,c  равны.

Теорема о неотрицательности переписывается следующим образом:

                    2
p ≥0 ⇔ x≥ 0,  q ≥ 0⇔ x − y ≥ 0, r≥ 0⇔ z ≥ 0

Условие a2+ b2 +c2+ abc= 4  переписывается в виде y+ z = 4.  Неравенство ab+ bc+ca− abc≤2  переписывается в виде x2− y− 2z ≤4.

Зафиксируем y  и z.  Неравенство достаточно проверить для максимального x  (максимальное x  существует, поскольку x≤ 3(a2 +b2+ c2)≤ 12).  В соответствующей тройке a,b,c  две переменные равны.

Пусть a= c.  Тогда   2  2   2
2a + b +a b= 4,  следовательно,  2  4−-b2
a =  2+b = 2− b.  Достаточно показать, что верно неравенство

2≥ a2+2ab− a2b

Подставляя b= 2− a2,  имеем

  4    3   2
− a +2a + a − 4a+ 2≥ 0

(a− 1)2(a2− 2)≤ 0

последнее верно, поскольку 4= 2a2+ b2+a2b≥ 2a2.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!