Тема . Классические неравенства

pqr-метод

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела классические неравенства
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80230

Известно, что a,b,c≥ 0  и a+ b+c= 3.  Докажите, что

--1--- --1--   --1--- --2---
1+2ab + 1+ 2bc + 1+2ac ≥ 1+ abc
Показать доказательство

Исходное неравенство переписывается следующим образом:

∑
cyc(1+ 2bc)(1+ 2ac)(1 +abc)≥2(1+2ab)(1+ 2bc)(1+ 2ca)
3+4(ab+ca+ ba)+ 3abc+ 4abc(a+ b+c)+
                               + 4abc(ab+bc+ ca)+ 4(abc)2(a +b+ c)≥
                                                                                             2
                                                          ≥2 +4(ab+ca+ ca)+ 8abc(a+b+ c)+16(abc)
3+4q+ 3r+8rp+ 4qr +4r2p≥2 +4q+ 8rp +16r2

  2              2
4r p+4rq− 4rp − 16r +3r+ 1≥ 0

при условии p= 3.  Зафиксируем p  и r.  По лемме q  минимально, если a= b.  В этом случае c= 3− 2a,  и после подстановки в исходное неравенство, получим:

  4    3    2              2     2
4a − 12a + 13a − 6a+ 1= (2a− 1)(a− 1) ≥ 0

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!