Проективные преобразования

Пусть — прямая, параллельная проходящая через Поскольку точка пересечения прямых и лежит на прямой Рассмотрим проективное преобразование, переводящее вписанную окружность в окружность, а прямую в бесконечно удаленную, в частности, точка переходит в бесконечно удаленную точку, тем самым, образы прямых и параллельны и переходит в середину поскольку двойное отношение не изменится при проективном преобразовании. Точка так же переходит в бесконечно удаленную, а значит прямые и так же параллельны, следовательно, является ромбом, описанным около вписанной в окружности, — ее диаметром.

Пусть — центр вписанной окружности, — точка касания окружности и прямой — середина Прямая является средней линией трапеции следовательно аналогично следовательно, лежат на одной прямой, а в силу симметрии относительно верно, что . Наконец, под действием симметрии относительно точки и переходят в друг друга, а значит прямые и переходят в друг друга, окружность переходит в себя, а значит касается так же касается окружности.