Метод отделяющей касательной

Рассмотрим функцию В точке Выберем точку, в которой производная принимает наименьшее значение при Такой точкой является Заметим, что пересекает ось ординат в точке Составим уравнение прямой, проходящей через тангенс угла которой совпадает с тангенсом угла касательной в точке

Теперь покажем, что при всех справедливо неравенство Для этого нужно взять производную у функции найти её корни и заметить, что её минимум достигается на границе отрезка и он равен Доказали.

Теперь перенесём синусы влево и оценим левую часть снизу выражением Нетрудно убедиться, что последнее выражение больше что и требовалось.