Тема . Классические неравенства

Неравенство Йенсена

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#100693

Сумма положительных чисел $a,$ $b$ и $c$ равна $1.$ Докажите неравенство

---ab--- --bc--- --ca--- 1-- √ab+-bc + √bc+-ca + √ca+-ab-≤ √2

Показать доказательство

Данное неравенство эквивалентно

∑ ∘ ---- a -b--≤ √1- cyc a+ c 2

∑ ∘ -----2----- a-+2b (a+-ac)(ab+b)2 ≤ √1 cyc 2

Для выпуклой вниз функции $f(x)= √x$ применим неравенство Йенсена

∑ ∘ -----2----- ┌│ ∑------2----- a+b- ----4ab---2 ≤ │∘ ----2a-b--- cyc 2 (a+ c)(a+b) cyc(a+ b)(a+ c)

Итак, остается показать, что

∑ a2b 1 (a+-b)(a+-c) ≤4 cyc

∑ 2 ∏ 4cyca b(b +c)≤ (a+ b+ c)cyc(a+ b)

Данное неравенство после раскрытия скобок и привидения подобных слагаемых принимает вид

a3b+ b3a+b3c+ c3b+ a3c+ c3a≥ 2a2b2+2b2c2 +2a2c2

Это неравенство очевидно верно, поскольку по неравенству о средних $√---- a3b+b3a≥ 2 a4b4 =2a2b2.$ Аналогичную оценку можно сделать для остальных слагаемых левой части, после чего все три неравенства сложить.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse