Тема . Классические неравенства

Неравенство Йенсена

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#81842

Неравенство Минковского. Для положительных $a,a ,...,a 1 2 n$ и $b ,b,...,b 1 2 n$

n√-------- n∘ -------- n∘ ---------------------- a1a2...an+ b1b2...bn ≤ (a1+ b1)(a2+b2)...(an +bn)

Показать доказательство

Поделим всё на $n√b-b...b. 12 n$ Получим неравенство

∘ --------- ∘ ----------------------- n a1a2...an+ 1≤ n (a1-+b1)(a2+-b2)...(an+-bn) b1b2 ...bn b1b2...bn

Введём новые переменные $ci = ai. bi$ Получим неравенство

n√c-c-...c-+ 1≤ n∘ (c-+-1)(c-+1)...(c-+-1)- 1 2 n 1 2 n

Логарифмируя полученное неравенство, получим равносильное ему

ln(n√c1c2...cn+1)< 1 ln(c1 +1)+ ...+ 1ln(cn+ 1) n n

Так как функция $ln(x)+ 1$ вогнутая, а $ln$ это монотонно возрастающая функция, то

1 1 c1+c2+-...+-cn n√-------- nln(c1+ 1)+ ...+ n ln(cn +1)≥ ln( n + 1)≥ln( c1c2...cn+ 1)

где последнее неравенство следует из неравенства между средних арифметическим и средним геометрическим.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse