Неравенство Йенсена

Первое решение.

Пусть Тогда и каждое из чисел положительно. Подставим замену в исходное выражение

Раскроем скобки в каждом числителе и разделим почленно, тогда получится следующее:

По неравенству между средним гармоническим и средним арифметическим:

Таким образом, Равенство достигается при

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что функция выпукла на промежутке , так как

Ясно, что при Так как и то все эти числа принадлежат промежутку Тогда по неравенству Йенсена для функции получаем

Оценим снизу по неравенству Коши-Буняковского-Шварца откуда Подставим оценку в последнее полученное выражение:

Равенство достигается при

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Если знать неравенство Седракяна (так же известное, как неравенство Коши-Буняковского-Шварца для дробей)

то сразу же получаем