Лемма об уточнении показателя
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— простое число, а 
— натуральные числа. Оказалось, что
Докажите, что 
Подсказка 1
Для начала попробуйте разобрать случай, когда у чисел x и y есть общий простой нечетный делитель.
Подсказка 2
Если у x и y есть общий простой нечётный делительно, то достаточно посмотреть на его степень вхождения в обоих частях нашего равенства. Теперь пусть у x + y есть нечетный простой делитель q. Что тогда можно сказать про степени вхождения q в нашем равенстве (давайте пока считать, что p > 2)?
Подсказка 3
Для этого достаточно выяснить, как вычислить степень вхождения q в x^p + y^p. Что же может нам помочь в этом?
Подсказка 4
Правильно, лемма об уточнении показателя! Применив ее, легко получить, что m может быть только 1. Теперь можно считать, что x + y вообще не имеет нечётных простых делителей. То есть x + y является степенью двойки. Из нашего равенства также будет следовать, что x^p + y^p тоже степень двойки. Попробуйте осознать, что это бывает довольно редко.
Подсказка 5
Не забудьте рассмотреть случай p = 2. Чтоб разобрать этот случай достаточно на самом деле понять, что при m > 2 правая часть точно больше левой.
Пока будем считать, что 
Пусть 
— простой общий делитель чисел 
и 
Тогда 
и 
(
Теперь
посмотрим на степень вхождения 
в нашем равенстве. Мы получаем, что 
а значит, 
Следовательно, достаточно доказать задачу для 
где 
Предположим, что 
имеет простой множитель 
Тогда 
и 
по отдельности на 
не делятся. Тогда по лемме об уточнении показателя получаем
поэтому 
что неверно. Пусть 
а значит, 
и 
(
Мы разобрали случай, когда у
есть нечётный простой делитель, поэтому можно считать, что 
и 
Следовательно, из нашего
равенства мы получаем, что 
где 
— какое-то число. Тогда мы знаем, что 
После
раскрытия скобок получаем, что степень вхождения двойки справа равна 
а слева равна 
Значит, 
Так как 
то 
а значит, 
и аналогично 
то есть 
Тогда из условия сразу следует, что
Если же 
то мы получаем 
Заметим, что 
в силу того, что 
и 
А значит,
левая часть нашего равенства при 
точно больше правой. То есть 
тоже равно двум.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
