Лемма об уточнении показателя

Подсказка 1

В случае нечетного c правая часть делится на p+3, а тогда оно является степенью двойки или произведением степени двойки и числа p. Предположим, что это степень двойки. Какие числа тогда заведомо являются вычетами или невычетами по модулю p?

Подсказка 2

Верно! -1 является вычетом, а 2 — невычетом. Тогда -2 — невычет. Возможно ли такое?

Подсказка 3

Конечно же, нет! Пусть теперь p+3 - это произведение степени двойки и p. Легко видеть, что p = 3. Можно ли найти теперь степень вхождения 3 в правую часть?

Подсказка 4

Верно! По лемме об уточнении показателя степень вхождения 3 в правую часть равна степени вхождения 3 в c, увеличенной на 1. Следовательно, с не меньше, чем (b-1)-я степень числа 3. При каких a, b, c это возможно?

Подсказка 5

Остается случай четного c. Обозначим степень вхождения 2 в c через n. Заметим, что если в правой части заменить c на n-ю степень 2, то получится делитель правой части. Тогда мы знаем разложение этой правой части с заменой c на n-ю степень 2 на простые множители. Какие выводы напрашиваются?

Подсказка 6

Верно! Мы видим, что при p > 2 можно применять LTE-лемму по модулю 2! Тогда можно получить уравнение на степени вхождения 2, а что из него следует?

Подсказка 7

Точно! Из этого уравнения легко получается, что степень вхождения 2 в показатель 2 по модулю p равна n+1. Тогда p-1 делится на (n+1)-ю степень 2. Кроме того, можно заметить, что степень вхождения p в левую часть с заменой c на n-ю степень двойки четна. Как тогда можно оценить степень вхождения 2 в b из имеющихся условий?

Подсказка 8

Конечно! Степень вхождения 2 в b, увеличенная на 2, не меньше 3 и не больше степени вхождения 2 в p+3. Отсюда получаем, что p-1 не делится на 8. Какое тогда получается уравнение из исходного?

Подсказка 9

Верно! Мы получаем n = 2 и после подстановки легко видеть, что при p > 5 решений нет (одна из частей уравнения точно больше другой). Остается разобраться со случаями p = 3 и p = 5!