Лемма об уточнении показателя

Будем вести индукцию по .

(a) Докажите базу для .

Решение. Заметим, что . Поскольку
, правая скобка по модулю сравнима с , что, очевидно, не кратно .

(b) Докажите, пожалуйста, базу и для . Это пригодится в дальнейшем.

Решение. Докажем для . Аналогично предыдущему пункту, заметим, что

Поскольку , правая скобка по модулю сравнима с , то есть делится на . Теперь остаётся доказать, что она не делится на . Будем действовать так: заметим, что если , то . Подставим это выражение вместо в скобку, получим следующее выражение: . Если записывать его как многочлен от , оно примет вид

раскрываем каждую скобочку по биному Ньютона и смотрим на свободные члены и члены первой степени - очевидно, остальные делятся на , и влиять на наше утверждение не будут

складываем все члены с и замечаем, что нечётно, а значит, эта сумма делится на

(c) Докажите индукционный переход.

Решение. Пусть . Тогда заметим, что

Т.к. основания степеней сравнимы по модулю , можно применить здесь доказанную в предыдущем пункте базу для . Получим

Выполнив аналогичное действие раз, получим, что

Но это, согласно первому пункту, равно

Замечание. Заметим ещё, что вышеприведённое решение не работает при , т.к. в этом случае не кратен . Недостающую для этой делимости двойку можно получить из , если оно чётно, а это равносильно тому, что кратно . Таким образом, если кратно , то LTE для выполняется.