Лемма об уточнении показателя

При уравнение имеет вид и не имеет решений в натуральных числах, следовательно, нечетно.

Если является нечетным, то число

так же нечетно, что невозможно, следовательно кратно

Предположим, что кратно Степень вхождения в правую часть равна что, в силу LTE для числа равно следовательно, а значит С другой стороны,

что влечет противоречие.

Таким образом, дает остаток при делении на — четно. Тогда то есть кратно а значит, в силу LTE,

то есть степень вхождения 2 в левую часть исходного уравнения что не превосходит

Таким образом, верна серия неравенств

При верны неравенства и сложив которые получим противоречие.

Если то уравнение имеет вид

В случае, если является составным (обозначим его произвольный делитель за ), имеем

кратно что невозможно в силу простоты а значит — так же простое число.

При уравнение имеет решение, количество делителей числа равно

Если то число делителей числа равно (делителями являются числа и ).