Использование производной и экстремумов в классических неравенствах

Первое свойство — верно в силу того, что Пусть из чего следует, что в силу того, что обращается в только в Аналогично в другую сторону. Теперь проверим условие. Так как — вогнутая и только один раз обращается в она возрастает! Иначе у неё есть корень производной, но вторая производная меньше нуля, а значит, производная будет далее все время отрицательной, то есть будет убывать, но тогда она где-то обратится в Теперь докажем, что если Мы знаем, что для вогнутых функций верно

Подставляя получаем то, что нужно. А значит,

Откуда и следует задача, так как для неравенство (условие треугольника выполнено.