Тема . Классические неравенства

Использование производной и экстремумов в классических неравенствах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126059

Для $a,b,c∈[0,1]$ докажите неравенство

--a---- ---b--- ---c--- b+c +1 +c+ a+ 1 + a+ b+ 1 + (1− a)(1− b)(1− c) ≤1.

Показать доказательство

Рассмотрим функции:

---a--- ---b--- --c---- f(a,b,c)= b+ c+ 1 + c+ a+1 + a+b +1 +(1− a)(1− b)(1 − c).

Фиксируем $b,c∈[0,1]$ и рассмотрим $g(a)= f(a,b,c).$ Её вторая производная:

2b 2c g′′(a)= (c+-a+1)3 + (a+-b+1)3 ≥ 0,

так как $b,c≥ 0$ и знаменатели положительны. Значит, $g(a)$ выпукла по $a$ при любых $b,c∈[0,1].$

Для выпуклой функции максимум на $[0,1]$ достигается на концах:

f(a,b,c)≤max {f(0,b,c),f(1,b,c)}.

Аналогично имеется выпуклость по $b,c,$ значит:

f(0,b,c)≤ max{f(0,0,c),f(0,1,c)}≤

≤max {f(0,0,0),f(0,0,1),f(0,1,1),f(0,1,0)},

f(1,b,c)≤ max{f(1,0,c),f(1,1,c)}≤

≤max {f(1,0,0),f(1,0,1),f(1,1,1),f(1,1,0)}.

То есть надо проверить граничные значения:

f(0,0,0)= 1, f(1,0,0)=f(0,1,0)= f(0,0,1)= 1,

f(1,1,1) =1, f(1,1,0)= f(1,0,1)= f(0,1,1)= 1

Отсюда $f(a,b,c)≤ 1.$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse