Использование производной и экстремумов в классических неравенствах

Рассмотрим нашу сумму как функцию от Каждое из слагаемых — линейная функция (либо константа) от Тогда сумма линейных функций от — линейная функция (либо константа). Максимум линейной функции (константы в том числе) достигается на одном из концов. Тогда Но так можно рассуждать для любой из переменных. Получаем, что в точке максимума функции, каждая из переменных принимает значение либо либо

Если хотя бы переменные равны то любое из слагаемых равно тогда и вся сумма равна

Если все переменные равны то каждое слагаемое снова равно т.е. вся сумма снова равна

Получается, что среди переменных есть ровно одна, равная а остальные нули. Тогда у нас ровно одно ненулевое слагаемое, равное Получается, это и есть наш максимум.