Использование производной и экстремумов в классических неравенствах

Каждая из частей неравенства положительна. В силу монотонности функции исходное неравенство эквивалентно

_____________________________________________________________________________________

Лемма. Предположим, что имеется набор функций определенных на отрезке Тогда верно неравенство

Доказательство. Пусть для всех минимум функции достигается в точке Пусть минимум функции достигается в точке Тогда из следует

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Рассмотрим функцию при некоторых положительных и Её производная строго возрастает и обращается в ноль в точке Следовательно, Поскольку

то согласно лемме верно, что