Использование производной и экстремумов в классических неравенствах
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны неотрицательные числа 
и вещественные числа 
Докажите,
что
Подсказка 1
Во-первых, все ашки и бэшки можно загнать в отрезок [0; 1] без потери общности. Как это сделать? Просто поделить все ашки и бэшки на максимальное среди них число.
Подсказка 2
Зачем рассуждения из подсказки 1? А вы посмотрите, что станет с неравенством, если всё ашки и бэшки станут 1.
Подсказка 3
Но как свести неравенство к этому случаю? Тут стоит рассмотреть его как линейное относительно некоторой ашки или бэшки. Тогда минимум будет достигаться либо в нуле, либо в единице. Но ноль нам не нужен, этот случай нужно как-то обыграть.
Не умаляя общности, будем считать, что числа 
и 
все лежат на отрезке ![[0,1]](/api/latex-service/v1/GetSession/202615/index-a8a87c9764f19d0b32e92da930e5fa93.svg)
(иначе поделим все числа на 
Возьмем все числа
среди 
и 
не равные 
и 
и попробуем прибавить ко всем к ним некоторое число 
Понятно, что если не допускать выход
чисел из отрезка ![[0,1],](/api/latex-service/v1/GetSession/202615/index-94337dc28bab3e6cf9636af83db13335.svg)
то сохраняется порядок между 
и 
следовательно, минимумы будут выбираться, как и
раньше. Заметим, что разность левой и правой частей является линейной функцией по 
следовательно, ее минимум на
конце допустимого промежутка. Таким образом, можно считать, что еще одно из чисел 
или 
стало равно 
или
Если число 
стало равно 
то будем после этого считать, что 
а 
Легко видеть, что значение разности от этого не
меняется; аналогично с 
То есть в любом случае среди 
и 
увеличивается количество чисел, равных 
Продолжая такие
движения чисел, мы сделаем все их равными 
Тогда неравенство превратилось в
что очевидно.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
