Аддитивная комбинаторика
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— множество из 
чисел, взаимно простых с 
Докажите, что любой остаток по модулю 
равен сумме некоторых элементов
Подсказка 1
Пронумеруем данные числа. Попробуем применить индукцию. Логично предположить, что среди сумм всевозможных подпоследовательностей первых k наших чисел есть не менее k различных остатков по модулю n. База очевидна. А что можно сделать для перехода?
Подсказка 2
Верно! Если мы берем i+1 чисел, то по предположению индукции среди первых i уже есть не менее i различных остатков. Как из них построить новый остаток?
Подсказка 3
Точно! Прибавим ко всем имеющимся i остаткам новое (i+1)-ое число. Тогда мы снова получим i различных остатков. Могут ли все они совпасть с первыми i остатками?
Подсказка 4
Попробуем рассмотреть сумму всех вновь получившихся чисел. Она сравнима с суммой имеющихся i остатков. Могло ли так получиться?
Подсказка 5
Очевидно, это невозможно, ведь это противоречит взаимной простоте (i+1)-го числа и n. Какой вывод можно теперь сделать?
Докажем индукцией по 
что среди сумм всевозможных подпоследовательностей 
есть хотя бы 
различных остатков по
модулю 
Для 
это очевидно, так как 
даёт один остаток.
Пусть утверждение верно для 
чисел (
), добавим к ним 
Пусть до этого среди сумм подпоследовательностей встречались
различные остатки 
Рассмотрим остатки
Ясно, что они различные. Предположим, что это просто перестановка остатков 
Тогда получаем, что
Получается, что 
кратно 
Однако 
а значит, 
что противоречит условию. Следовательно, среди
чисел
есть новый остаток. Переход доказан.
Тогда среди сумм всевозможных подпоследовательностей чисел 
есть любой остаток по модулю 
что и
требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
