Аддитивная комбинаторика

Случаи разбираются вручную. Пусть есть элементы Для любого другого элемента рассмотрим суммы и Их штук, значит какие-то две дают один и тот же остаток при делении на . Если одна из этих сумм имеет вид то их разность делится на и является суммой какой-то подпоследовательности, пришли к противоречию.

Следовательно, возможны только следующие равенства: и то есть для любого элемента Если в множестве есть как элемент так и то их сумма равна что противоречит условию. Значит, одновременно для всех элементов реализуется один и тот же знак. Таким образом, все элементы последовательности, кроме и равны некоторому числу

Предположим, что хотя бы одно из чисел и не равно например Тогда для чисел и можно проделать аналогичные рассуждения, то есть все остальные числа будут также равны То есть при получаем Также заметим, что условие выполняется лишь когда Также подходит случай, когда оба числа и равны