Клетчатая решётка (координатная плоскость) и точки, отрезки, прямые на ней

Без ограничения общности будем считать, что в трехмерный шар вписывается куб с ребром единичной длины. Разобьем каждое ребро на равных частей и построим кубическую решетку, в которой узлов. Расстояние между двумя любыми узлами не менее Рассмотрим образ этой решетки при отображении. Расстояние между двумя любыми точками из образа должно быть так же не меньше

Пусть диаметр круга равен . Впишем круг в квадрат и разобьем его стороны на равных частей так, чтобы длина каждой части была меньше То есть должно выполняться можно взять Тогда большой квадрат разобьется на квадратиков.

Диагональ каждого квадратика равна Значит, никакие два узла кубической решетки после отображения не могут попасть в один квадратик. Найдется достаточно большее такое что Получается, найдутся две точки в шаре, расстояние между которыми не меньше а расстояние между их образами в круге меньше Значит нужного отображения не существует.