Клетчатая решётка (координатная плоскость) и точки, отрезки, прямые на ней

Каждая сторона многоугольника задаётся вектором с целыми координатами, удовлетворяющими условию:

Все целочисленные решения, полученные рассмотрением пифагоровых троек

Всего векторов.

Фигура составленная из векторов обязана быть замкнутой и выпуклой.

1.

Замкнутость: Сумма векторов сторон должна быть нулевой:

2.

Выпуклость: При обходе против часовой стрелки угол каждого вектора с начальным должен строго возрастать.

Из полученных условий имеем ограничения на Из условия на углы получаем, что каждый вектор используется в качестве стороны не более одного раза

Разделим полученные векторы на

Заметим, что у любого из данных векторов одна компоненты четна, вторая нечетна. Условие замкнутости поделим на получим:

что не возможно при нечетном Для все четных построим искомый выпуклый многоугольник. Если делится на то возьмем векторы с неотрицательными координатами, кроме “выстроим” их по возрастанию угла, это построит четверть фигуры, затем из четырех таких частей получим всю фигуру.

Если не делит на построение такое: аналогично первому пункту встроим вектора, используя в начале Затем отразим все векторы, кроме относительно прямой а затем всю фигуру отразим относительно верхней границы.