Клетчатая решётка (координатная плоскость) и точки, отрезки, прямые на ней
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких натуральных 
существует выпуклый 
-угольник с вершинами в узлах целочисленной решётки, у которого все стороны равны
Подсказка 1
Все стороны многоугольника будем рассматривать как вектора с некоторыми координатами. Тогда эти координаты x, y удовлетворяют равенству x² + y² = 100². Как могут быть получены все такие вектора?
Подсказка 2
Верно! Умножением на 20 векторов (±3,±4), умножением векторов (±7,±24) на 4 и как (0,±100) и (±100,0). Теперь попробуем учесть, что фигура должна быть замкнутой и выпуклой! Что это означает?
Подсказка 3
Верно! Сумма векторов должна быть нулевой, а угол при обходе против часовой стрелки с начальным должен строго возрастать. Из предыдущей подсказки мы получили, что у нас есть 20 возможных различных векторов. Тогда всего сторон не больше 20! А можно ли доказать, что при нечетных n ничего не выйдет?
Подсказка 4
Конечно! Если разделить все вектора и условие замкнутости на 4, получим, что нечетная сумма первых компонент векторов должна быть нулевой — противоречие. А можно ли для всех остальных n просто построить пример?
Каждая сторона многоугольника задаётся вектором 
с целыми координатами, удовлетворяющими условию:
Все целочисленные решения, полученные рассмотрением пифагоровых троек 
Всего 
векторов.
Фигура составленная из векторов обязана быть замкнутой и выпуклой.
- 1.
-
Замкнутость: Сумма векторов сторон должна быть нулевой:
- 2.
-
Выпуклость: При обходе против часовой стрелки угол каждого вектора с начальным должен строго возрастать.
Из полученных условий имеем ограничения на 
Из условия на углы получаем, что каждый вектор используется в качестве стороны не
более одного раза 
Разделим полученные векторы на 
Заметим, что у любого из данных векторов одна компоненты четна, вторая нечетна. Условие замкнутости поделим на 
получим:
что не возможно при нечетном 
Для все четных 
построим искомый выпуклый многоугольник. Если 
делится на 
то
возьмем векторы с неотрицательными координатами, кроме 
“выстроим” их по возрастанию угла, это построит четверть фигуры,
затем из четырех таких частей получим всю фигуру.
Если 
не делит на 
построение такое: аналогично первому пункту встроим вектора, используя в начале 
Затем
отразим все векторы, кроме 
относительно прямой 
а затем всю фигуру отразим относительно верхней
границы.
При всех четных 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
