Клетчатая решётка (координатная плоскость) и точки, отрезки, прямые на ней
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В пространстве введена прямоугольная декартова система координат. Верно ли, что у любого прямоугольного параллелепипеда объема
вершины которого расположены в точках с целыми координатами, ребра параллельны осям координат?
Подсказка 1
Пусть стороны данного параллелепипеда не параллельны осям, тогда каждая из них — квадратный корень из суммы квадратов целых чисел. Тогда объем параллелепипеда в квадрате — произведение трех сумм квадратов. Какой вывод можно сделать?
Подсказка 2
Верно! Тогда квадрат объема — сумма квадратов целых чисел. Пусть эти числа — m и n. Могут ли они не делиться на 1999?
Подсказка 3
Верно, не могут! Ведь тогда мы получим из малой теоремы Ферма, что 1 и -1 сравнимы по модулю 1999. Тогда равенство m² + n² = 1999⁴ можно разделить на 1999²! А нельзя ли еще раз проделать то же самое и получить какое-нибудь противоречие?
Пусть стороны данного параллелепипеда не параллельны осям, тогда они имеют длины вида 
откуда
Пусть 
не делятся на 
тогда из
получаем противоречие с малой теоремой Ферма. Поделим тождество на 
получим
аналогично заключаем, что 
делятся на 
— противоречие.
Верно
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
