Клетчатая решётка (координатная плоскость) и точки, отрезки, прямые на ней
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что для любого 
существует окружность, внутри которой лежит ровно 
целочисленных точек.
Подсказка 1
Любая точка внутри окружности — тоже точка некоторой окружности. Тогда для того, чтобы контролировать количество точек внутри окружности, можно попробовать выбрать такую точку A, чтобы любая окружность с центром в этой точке содержала на себе не более одной целочисленной точки. Существует ли такая A?
Подсказка 2
Верно, существует! Например, в качестве такой точки можно взять A = (√2, 1/3). Тогда каким бы ни был радиус окружности с центром в точке A, на ней будет не более одной целочисленной точки. А внутренность любой окружности — объединение всех окружностей, лежащих внутри данной. Как тогда построить окружность с радиусом R и центром в точке A, чтобы внутри нее было не более n целочисленных точек?
Докажем сначала, что на окружности с центром 
не может лежать более одной целочисленной точки. Если 
и 
— целые
числа, то
где 
Поэтому из равенства
следует, что 
По теореме Виета сумма корней уравнения 
равна 
поэтому лишь один корень может быть
целочисленным. Расположим теперь радиусы окружностей с центром 
проходящих через целочисленные точки, в порядке возрастания:
Если 
то внутри окружности радиуса 
с центром 
лежит ровно 
целочисленных
точек.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
