Клетчатая решётка (координатная плоскость) и точки, отрезки, прямые на ней

Докажем, что при обзор не будет заслонен. Для этого достаточно предъявить точку вне круга, видимую из центра.

Пусть покажем, что точку с координатами видно из центра. Пусть это не так, тогда существует точка такая, что где — расстояние от точки до прямой

Последнее равенство может быть выполнено, если но в таком случае, так как то и в таком случае то есть такая точка вне парка — противоречие.

Теперь покажем, что при все целые точки на решётке будут не видны. Будем считать (иначе уменьшим радиус, а если то задача не имеет смысла). Тогда покажем, что можно считать, что Будем расширять радиус, возможно, к нам добавятся какие-то новые точки , но тогда их координаты будут не взаимно просты, значит, найдётся точка внутри круга, координаты которой будут пропорциональны координатам Но тогда если до какой-то прямой то и то есть если в новом круге найдётся подходящая точка, то и в исходном тоже была. Теперь внутри нашего круга лежат все точки, расстояние до которых от начала координат меньше Пусть есть точка которую видно из начала координат. Рассмотрим прямоугольник со сторонами и c центром в и сторона которого параллельна Тогда прямоугольник центрально-симметричный, замкнутый и имеет площадь хотя бы Тогда по теореме Минковского в нём есть целая точка. Ясно, что расстояние от этой целой точки до прямой если эта точка оказалась не в той полуплоскости, то рассмотрим симметричную ей. Итак, мы нашли в прямоугольнике точку, расстояние от которой до луча Тогда посмотрим, что это могла быть за точка. Самая далёкая от — это вершина прямоугольника. Она находится на расстоянии Поскольку и сумма квадратов координат целая, эта точка или на расстоянии или внутри круга. Если она внутри круга, то мы уже победили, так что предположим, что она на расстоянии Тогда покажем, что вся окружность точки радиуса уже закрыта. Рассмотрим какой-нибудь треугольник где лежит в круге (для начала, например, Допустим, этот треугольник оказался простым, то есть не содержит целых точек на сторонах и внутри. Тогда его площадь а с другой стороны она где — расстояние от до Тогда то есть дерево как минимум касается прямой Если же треугольник оказался не простым, то рассмотрим в нём ближайшую к точку и заменим на неё. Точка точно внутри круга (по определению ), площадь треугольника строго уменьшилась. Так мы найдём точки в обеих полуплоскостях относительно деревья которых как минимум касаются Заметим, что эти две окружности вместе целиком перекрывают окружность точки так что если точка закрывала обзор для то найдётся и точка в круге, которая закроет обзор, что и требовалось доказать.